DONATELLA IACONO

• Esercizi 16 Ottobre 2023 (su sottospazi proiettivi)
• Esercizi 30 Ottobre 2023 (su sottospazi proiettivi e birapporto)
• Esercizi 31 Ottobre 2023 (su trasformazioni proiettive in P1(R)
• Esercizi 10 Novembre 2023 (su trasformazioni proiettive in P2(R) e derivate parziali)
• Esercizi 20 Novembre 2023 (su intersezione e molteplicità)
• Esercizi 23 Novembre 2023 (su punti singolari e retta tangente)
• Esercizi 27 Novembre 2023 (su curve algebriche)

Come testo di riferimento verra' usato il libro: E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri: capitoli Geometria Proiettiva e Cruve Algebriche piane.

• 06.10.2023 (3h ): Spazio proiettivo come direzioni dello spazio affine. Spazio proiettivo numerico come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo. Applicazioni di passaggio a coordinate omogenee e applicazioni di passaggio a coordinate non omogenee. Spazio proiettivo come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo. Sottospazi proiettivi e sottospazi affini. Completamento proiettivo di uno spazio affine (parte 1).
• 13.10.2023 (+3h = 6h ): Ripasso di spazio proiettivo come direzioni dello spazio affine. Ripasso di spazio proiettivo come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo. Completamento proiettivo di uno spazio affine (parte II). Sottospazi affini e sottospazi proiettivi. Ripasso teoria su spazi e sottospazi proiettivi. Esercizi: sottospazio generato da punti, dimensione, equazioni cartesiane e parametriche; sottospazio generato da punti con parametro, equazioni cartesiane e parametriche e sistema lineare di iperpiani. Esercizio su sottospazio congiungente, intersezione, dimensione equazioni cartesiane e parametriche.
• 20.10.2023 (+3h = 9h ): Introduzione ai POLINOMI: definizione, somma, prodotto, anello dei polinomi a coefficienti in un campo in n indeterminate, esempi. Grado, grado minimo, grado massimo, polinomi irriducibili, Teorema di fattorizzazione in prodotto di potenze di polinomi irriducibili distinti (senza dim.). Introduzione ai POLINOMI OMOGENEI: definizione, caratterizzazione e proprietà. Omogenizzazione di polinomi ed esempi; deomogenizzazione di polinomi ed esempi. Esercizi vari su sottospazi congiungente, intersezione, dimensione equazioni cartesiane e parametriche. sistema lineare, fascio, anche con parametro.
• 27.10.2023 (+3h = 12h ): Esercizi vari su sottospazi congiungente, intersezione, dimensione equazioni cartesiane e parametriche, posizione generale sistema lineare, fascio, anche con parametro. Ripasso teoria birapporto. Esercizi su birapporto; birapporto in funzione di un parametro; birapporto di punti allineati in P3.
• 30.10.2023 (+2h = 14h ): Ripasso teoria su trasformazioni proiettive e trasformazioni proiettive in in dimensione 1 e birapporto. Esercizi su trasformazioni proiettive in P1(R): determinazione, esistenza, unicita', classificazione, punti uniti. Esercizi su trasformazioni proiettive di rette in P3(R).
• 31.10.2023 (+2h = 16h ): Esercizio su trasformazioni proiettive in P1(R): determinazione, esistenza, unicita', classificazione, punti uniti. Esercizi su trasformazioni proiettive di rette in P1(R) al variare di un parametro k: determinazione, esistenza, unicita', classificazione, punti uniti. Esercizi vari su trasformazioni proiettive in P2(R): esistenza e unicità casi con 4 punti, rette e punti. determinazione, esistenza, unicita'.
• 10.11.2023 (+3h = 19h ): Esercizi vari su trasformazioni proiettive in P2(R): esistenza e unicità o non unicità casi con punti, rette e punti, solo rette. (lezione online a causa di ocucpazione aule) Polinomi: Definizione di derivata parziale formale sull'anello dei polinomi a coefficenti in un campo in n indeterminate. Proprieta' ed Esempi. Teorema che sui fattori multipli di un polinomio e le derivate parziali (con dim.). Applicazioni ai polinomi di una variabile: Teorema sulle radici di un polinomio (senza dim.). Teorema di caratterizzazione delle radici multiple con la derivata (con dim.). Definizione radice multipla di un polinomio in due variabili.
• 17.11.2023 (+3h = 22h ): Ripasso definizione radice multipla di un polinomio in due variabili. Teorema di fattorizzazione dei polinomi omogenei in due variabili acoefficienti complessi (senza dim.). Esempi e caso reale. Formula di Eulero per polinomi omogenei (con dim.). IPERSUPERFICI ALGEBRICHE AFFINI: definizione, luogo degli zeri, supporto, ipersuperfici irriducibili, componenti irrudicibili, ipersuperfici ridotte, ipersuperfici affinemente equivalenti. CURVE ALGEBRICHE AFFINI PIANE: definizione, equazione, grado, supporto, irriducubile, componenti irriducibili, ridotta. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Esempi.
• Lezioni di Geometria 3 della prossima setitmana: Martedi 8:15-10:15, Giovedi 11:15-13:15 e Venerdi 10:15-13:15.
• 21.11.2023 (+2h = 24h ): Ripasso molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Teorma sulla somma delle molteplicità di intersezione tra i punti di una retta e una curva (con dim.). Definizione di molteplicità di un punto. Punti regolari, punti singolari e insieme dei punti singolari. Definizione di retta tangente e tangenti principali. Esempi. Teorema di caratterizzazione dei punti singolari in relazione alle derivate parziali (con dim.). Teorema di esistenza e unicità della retta tangente nei punti regolari (con dim). Esempio.
• 23.11.2023 (+2h = 26h ): Ripasso molteplicità di un punto. Teorema sul numero delle tangenti principali in un punto m-plo (con dim.). Definizione di punto doppio, nodo, cuspide, punto m-plo ordinario, flesso. Teorema di caratterizzazione dei punti m-pli (senza dim.). Esercizi su curva, punti singolari molteplicità di un punto, rette tangenti principali, flesso. CURVE ALGEBRICHE PROIETTIVE PIANE: definizione, equazione, grado, supporto, irriducubile, componenti irriducibili. Definizione di chiusura proiettiva di una curva affine e di curva affinizzata di una curva proiettiva. Definizione di Punti Impropri. Esempio. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto.
• 24.11.2023 (+3h = 29h ): Ripasso definizione di una curva proiettiva. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Punto Regolare, punto Singoalre, punto m-plo. Definizione di retta tangente e tangenti principali. Definizione di Asintoti. Teorema di caratterizzazione dei punti singolari in relazione alle derivate parziali (con dim.). Teorma sull'equazione della retta tangente nei punti regolari (senza dim.). Teorema di caratterizzazione dei punti m-pli (senza dim.). STUDIO di CURVE ALGEBRICHE PIANE: eventuali simmetrie semplici, intersezione con assi, Asintoti, punti singolari, molteplicità, tangenti principali, grafico qualitativo. Esercizi.
• 28.11.2023 (+1h = 30h ): Esercizio di studio di una curva algebrica affine piana in funzione di un parametro reale. (That's it!)

Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited to all we now know and understand, while imagination embraces the entire world, and all there ever will be to know and understand.

A. Einstein