Donatella Iacono

Geometria 3 2022/2023

Corso di Laurea in Matematica.

Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.

Inizio lezioni Primo semestre 2022/2023

Ricevimento

Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.

Programma

Programma del corso dell'anno 2022-2023

Pagina web degli Esami

Testi consigliati

Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:

E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri

E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini: Geometria proiettiva, problemi risolti e richiami di teoria, Springer-Verlag, Collana Unitext, 2011.

M. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin: Lezioni di Geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, 2003.

M. Berger: Geometry II, Universitext, Springer-Verlag, 1987.

E. Casas-Alvero: Analytic Projective Geometry, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (EMS), 2014.

Esercizi

Esercizi 24 Ottobre 2022 (su sottospazi proiettivi)
Esercizi 2 Novembre 2022 (su sottospazi proiettivi e proiettività in P1) News: Corretto misprint Esercizio 6.
Esercizi 14 Novembre 2022 (su proiettività in P1 e P2 e birapporto)
Esercizi 22 Novembre 2022 (su proiettività in P1 e derivate parziali)
Esercizi 29 Novembre 2022 (su intersezione e molteplicità)
Esercizi 2 Dicembre 2022 (su punti singolari e rette tangenti)
Esercizi 31 Dicembre 2022 (su curve algebriche; altri esercizi sulle curve, inclusi quelli con un parametro, sono stati pubblicati dal Prof. Bastianelli.)

Raccolta Prove passate

Diario delle Lezioni

Come testo di riferimento e' stato usato il libro: E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri: capitoli Geometria Proiettiva e Cruve Algebriche piane.

07.10.2022 (3h ): Spazio proiettivo come direzioni dello spazio affine. Spazio proiettivo numerico come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo. Applicazioni di passaggio a coordinate omogenee e applicazioni di passaggio a coordinate non omogenee. Spazio proiettivo come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo.

14.10.2022 (+3h = 6h ): Ripasso di spazio proiettivo come unione di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo. Sottospazi proiettivi e sottospazi affini. Completamento proiettivo di uno spazio affine. Sottospazi affini e sottospazi proiettivi. Esercizio: equazioni cartesiane e parametriche e intersezione di rette in P3(R).

21.10.2022 (+3h=9h ): Ripasso teoria su spazi e sottospazi proeittivi. Esercizi: sottospazio generato da punti, dimensione, equazioni cartesiane e parametriche; sottospazio generato da punti con parametro, equazioni cartesiane e parametriche e sistema lineare. Esercizi vari su sottospazio congiungente, intersezione, dimensione equazioni cartesiane e parametriche, sistema lineare, anche con parametro.

28.10.2022 (+3h=12h ): Esercizi vari su sottospazio congiungente, intersezione, dimensione equazioni cartesiane e parametriche, posizione generale, sistema lineare, fascio, anche con parametro. Ripasso teoria su trasformazioni proiettive. Esercizi su trasformazioni proiettive in P1(R).

04.11.2022 (+3h=15h ): Esercizi vari su trasformazioni proiettive in P2(R): esistenza e unicità casi con 4 punti, rette e punti, solo rette. Ripasso forme bilineari Simmetriche, forme quadratiche, matrici associate, rango, diagonalizzabilità. Introduzione ai POLINOMI OMOGENEI: definizione, somma, prodotto, anello dei polinomi a coefficienti in un campo in n indeterminate, grado, polinomi irriducibili, fattorizzazione in prodotto di potenze di polinomi irriducibili distinti, polinomi omogenei e proprietà.

11.11.2022 (+3h=18h ): Esercizi vari su trasformazioni proiettive in P2(R): esistenza e unicità o non unicità casi con punti, rette e punti, solo rette. Ripasso teoria birapporto e geometria proiettiva in dimensione 1. Esercizi su birapporto; birapporto in funzione di un parametro; birapporto in P3; birapporto e trasformazioni proiettive; classificazione proiettività.

18.11.2022 (+3h=21h ): Esercizi vari su trasformazioni proiettive in dimensione 1 e classificazione proiettività, classificazioni di proiettività al variare di un parametro k. IPERSUPERFICI ALGEBRICHE AFFINI: definizione, luogo degli zeri, supporto, ipersuperfici irriducibili, componenti irrudicibili, ipersuperfici ridotte, ipersuperfici affinemente equivalenti. Polinomi: omogenizzazione di polinomi ed esempi; deomogenizzazione di polinomi ed esempi. Definizione di derivata parziale formale sull'anello dei polinomi a coefficenti in un campo in n indeterminate. Esempi.

25.11.2022 (+3h=24h ): Ripasso definizione di derivata parziale formale sull'anello dei polinomi a coefficenti in un campo in n indeterminate. Esempi. Formula di Eulero per polinomi omogenei (con dim.). Teorema di Ruffini in una variabele (senza dim.). Teorema di caratterizzazione delle radici multiple con la derivata (con dim.). Definizione radice multipla di un polinomio in due variabili e teorema di fattorizzazione dei polinomi omogenei in due variabili a coefficienti complessi (senza dim.). CURVE ALGEBRICHE AFFINI PIANE: definizione, equazione, grado, supporto, irriducubile, componenti irriducibili, ridotta. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Esempi. Teorma sulla somma delle molteplicità di intersezione tra i punti di una retta e una curva (con dim.).

2.12.2022 (+3h=27h ): Ripasso definizione di molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Definizione di molteplicità di un punto. Punti regolari, punti singolari e insieme dei punti singolari. Definizione di retta tangente e tangenti principali. Esempi. Teorema di caratterizzazione dei punti singolari in relazione alle derivate parziali (con dim.). Teorma di esistenza e unicità della retta tangente nei punti regolari (con dim). Esempi. Teorema sul numero delle tangenti principali in un punto m-plo (con dim.). Definizione di punto doppio, nodo, cuspide, cuspide ordinaria, punto m-plo ordinario, flesso. Esempi. Teorema di caratterizzazione dei punti m-pli (senza dim.).

16.12.2022 (+3h=30h ): Esercizi su curva, punti singolati molteplicità di un punto, rette tangenti principali. CURVE ALGEBRICHE PROIETTIVE PIANE: definizione, equazione, grado, supporto, irriducubile, componenti irriducibili, ridotta. Definizione di chiusura proiettiva di una curva affine e di curva affinizzata di una curva proiettiva. Definizione di Punti Impropri. Esempi. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta in un punto. Punto Regoalre, punto Singoalre, punto m-plo. Esempi. Definizione di retta tangente e tangenti principali. Definizione di Asintoti. Teorema di caratterizzazione dei punti singolari in relazione alle derivate parziali (con dim.). Teorma sull'equazione della retta tangente nei punti regolari (senza dim.). Teorema di caratterizzazione dei punti m-pli (senza dim.). STUDIO di CURVE ALGEBRICHE PIANE: Intersezione con assi, eventuali simmetrie semplici, Asintoti, punti singolari, molteplicità, tangenti principali, grafico qualitativo. Esempio di stdio di una curva algebrica affine piana in funzione di un parametro reale.

Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited to all we now know and understand, while imagination embraces the entire world, and all there ever will be to know and understand.

A. Einstein

DONATELLA IACONO