Esercitazioni di Geometria 2, 2019/2020
Corso di Laurea in Matematica.
Docente del Corso Prof. G. Dileo.
Ricevimento
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Testi consigliati
E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.
Esami
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Esercizi
- Esercizi 28 Febbraio 2020 (alcuni visti a lezione su prodotto scalare)
- Esercizi 4 Marzo 2020 (alcuni visti a lezione su ortogonalizzazione e complemento ortogonale)
- Esercizio teorico sul teorema di Gram-Schmidt (sulla seconda parte della dimostrazione che abbiamo saltato a lezione)
- Esercizi sui prodotti scalari (In questo foglio di esempi ed esercizi studiamo i prodotti scalari associati a matrici. Inoltre viene enunciato un criterio molto utile per stabilire se un a forma bilneare è definita positiva)
- Esercizi sul procedimento di Gram-Schmidt (In questo foglio di esempi ed esercizi approfondiamo il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt rispetto ad un qualsiasi prodotto scalare.)
- Esercizi 20 Marzo 2020 (alcuni visti a lezione su operatori aggiunti)
- Esercizi 27 Marzo 2020 (alcuni visti a lezione su operatori aggiuni e spazi affini e piano affine)
- Esercizi 3 Aprile 2020 (alcuni visti a lezione su spazi affini e piano affine)
- Esercizi 8 Aprile 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 2)
- Esercizi 17 Aprile 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 2: circonferenze e triangoli)
- Esercizi 24 Aprile 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 3: rette, piani, distanze)
- Esercizi 29 Aprile 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 3: distanza tra rette e sfere)
- Esercizi 6 Maggio 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 3: sfere e circonferenze)
- Esercizi 15 Maggio 2020 (sugli spazi euclidei di dimensione 3: coni e cilindri)
- Esercizi su affinità e isometrie
Esercizi proposti per la settimana 10-15 Marzo 2020
Diario delle Lezioni
- 19.02.2020 (2h ): Ripasso definizione di Matrice quadrata M n(K). Gruppo delle matrici invertibili GL(n,K). Sottogruppo delle matrici a determinante positivo GL+(n,R). Gruppo speciale lineare SL(n,K). Gruppo delle matrici ortogonali O(n,K). Determinante di matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R). [Review of the definition of square matrices M_n(K). Group of invertible matrices GL(n,K). Subgroup of matrices with positive determinant GL+(n,R). Special linear group SL(n,K). Group of orthogonal matrices O(n,K). Determinant of orthogonal matrices. Determinante. Special orthogonal group SO(n,K). Explicit description of O(2, R): orthogonal matrices of type (2,2) with coefficient in R. Eigenvalues and eigenvectors of orthogonal matrices in O(2,R).] ]
- 26.02.2020 (+2h=4h ): Prodotto scalare su uno spazio vettoriale Euclideo. Spazi vettoriali Euclidei: definizioni, esempi, esercizi. Prodotto scalare standard sullo spazio vettoriale prodotto di R^n. Matrice associata al prodotto scalare rispetto ad una base e relazione con il cambiamento di base. Disuguaglianza di Schwartz. Norma di un vettore. Esempi. Proprietà della norma (con dim.) Versori: vettori di norma 1. Normalizzazione di un vettore non nullo. Angolo convesso tra due vettori non nulli. esempi. [Scalar product on a real vector space and Euclidean vector spaces: definition, examples and exercises. Standard scalar product on the vector space R^n. Matrix associated with a scalar product and relation with change of basis. Schwarz inequality (with proof). Norm of a vector. Example. Property of the norm (with proof). Versor: vectors of norm 1. Versor associated with a vector. Anlges in Euclidean vector spaces between non trivial vectors. Examples]
- 28.02.2020 (+1h=5h ): Vettori ortogonali: definizioni proprietà ed esempi. Sistemi di vettori ortogonali e ortonormali. Basi ortogonali e ortonormali. I sistemi di vettori ortogonali sono linearmente indipendenti (con dim.). Normalizzazione di una base ortogonale. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale in una base ortonormale e prodotto scalare standard. Matrici ortogonali e basi ortonormali formate dalle righe o colonne (con dim.). [Orthogonal vector: definition, property and examples. Orthogonal and orthonormal set of vectors. Orthogonal and orthonormal Basis. Orthogonal set of vectors are linear independent (with proof). Normalizing of orthogonal basis. Scalar product in a space with orthonormal basis and relation with standard scalar product. Orthogonal matrices and orthonormal basis of lines and column (with proof).]
- 04.03.2020 (+2h=7h ): Ripasso: Matrici ortogonali e basi ortonormali formate dalle righe o colonne (con dim.). Matrice cambiamento basi ortonormali e' ortogonale (con dim.). Coefficiente di Fourier. Teorema: Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dim). Esempi. Definizione di complemento ortogonale. Proprietà (con dim). Proiezione ortogonale su un vettore e su un sottospazio. Esempi. [ Orthogonal matrices and orthonormal basis of lines and column (with proof). Matrix of change of orthonormal basis is and ortoghonal matrix. Fourier coefficient. Gram -Schmidt orthogonalization process (with proof). Examples. Orthogonal complement of a vector space and properties (with proof). Orthogonal projection on a vector and on a vector subspace. Examples]
- 18.03.2020 (+2h=9h ): Teorema: Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, unicità a meno di un fattore di proporzionalità (con dim). Esercizio su complemento ortogonale e proiezione ortogonale. Minori principali di una matrice. Matrici simmetriche. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive con i minori principali (senza dim.) Relazione tra matrici simmetriche definite positive e prodotti scalari. Esempi ed Esercizi. Matrici definite positive al variare di un parametro: Esempi e Esercizi. Esempi ed Esercizi sui prodotti scalari, sui prodotti scalari associati a matrici, sul procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt rispetto al prodotto scalare standard e ad un prodotto scalare qualsiasi. Ortonormalizzazione di una base rispetto ad un prodotto scalare. (ONLINE)
- 20.03.2020 (+1h=10h): Operatori autoaggiunti: definizione. Caratterizzazione degli operatori autoaggiunti con gli elementi di una base (con dim.). Matrice simmetriche associata ad un operatore autoaggiunto rispetto ad una base ortonormale (con dim.). Esempi ed esercizi. Le matrici simmetriche hanno tutti autovalori reali (con dim.). Teorema spettrale (con dim.). Teorema spettrale per matrici (con dim.). (ONLINE)
- 25.03.2020 (+2h=12h): Operatori unitari: definizione. Caratterizzazione degli operatori unitari con le basi ortonormali (con dim.). Teorema di aratterizzazione degli operatori unitari (con dim.). Gli operatori unitari sono isomorfismi (con dim.). L'insieme degli operatori unitari è un gruppo (con dim.). Matrice ortogonali associata ad un operatore unitario rispetto ad una base ortonormale (con dim.). Operatori unitari in R^2. Autovalori degli operatori unitari (con dim.). Una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se gli autovalori sono positivi (con dim.). Esercizi su operatori autoaggiunti rispetto al prodotto scalare standard o rispetto ad un qualsiasi prodotto scalare, base ortonormali di autovettori. Esercizio su diagonalizzazione di matrice simmetrica. (ONLINE)
- 27.03.2020 (+1=13h): Esercizi su: operatore autoaggiunto rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini definiti da un punto e dalla giacitura. Rette nel spazio affine: equazioni parametriche e cartesiane, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. (ONLINE)
- 01.04.2020 (+2=15h): Esercizi su: operatore autoaggiunto rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini definiti definito da equazioni cartesiani, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. Piano affine: equazione parametriche e cartesiane di rette passanti per due punti, passanti per un punto e parallele ad una retta data. Nello spazio affine: equazione parametriche e cartesiane di intersezioni di piani. (ONLINE)
- 03.04.2020 (+1=16h): Esercizi nello spazio affine: equazione parametriche e cartesiane di piani per un punto e una retta. Fasci di rette nel piano affine. Fasci di piani nello spazio affine. Rette incidenti e piani nello spazio affine. (ONLINE)
- 08.04.2020 (+2=18h): Esercizi nello spazio affine di dimensione 3 su piani e rette. Esercizi nel piano euclideo: distanza tra due punti, angolo orientato tra rette, rette ortogonali, proiezioni ortogonali. Formula distanza punto retta (con dim.). Distanza tra rette parallele. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto. Simmetrico di un punto rispetto ad una retta. Simmetrico di una retta rispetto ad un punto. Simmetrico di una retta rispetto ad una retta. (ONLINE)
- 15.04.2020 (+2=20h): Esercizi nel piano euclideo: Asse di un segmento, bisettrici tra rette, rette con distanze fissate. Circonferenza: definizione, centro, raggio, equazione, proprietà, circonferenze e rette. Circonferenza per tre punti, tangenti ad una retta in un punto e passanti per un altro punto, tangenti ad una retta e con centro su un altra retta o a distanza fissata da una retta. (ONLINE)
- 17.04.2020 (+1=21h): Esercizi nel piano euclideo: circonferenza tangente a due rette e passanti per un punto. Determinare il terzo vertice di un traingolo isoscele conoscendo area e due vertici. Determinare area e vertici di un triangolo equilatero conoscendo un vertice e la retta passante per gli altri due vertici. (ONLINE)
- 22.04.2020 (+2=23h): Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta ortogonale ad un piano passante per un punto, piano ortogonale ad una retta passante per un punto, retta contenuta in un piano e incidente ad una retta e ortogonale ad un altra retta, retta parallela ad una altra retta e incidente a due rette date, retta per un punto e parallela ad un piano e formante un angolo dato con una retta, retta per un punto e incidente ad una retta e formante con essa un angolo, retta passante per un punto e incidente ad una retta e formante un angolo dato con un piano.(ONLINE).
- 24.04.2020 (+1=24h): Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta passante per un punto e incidente ad una retta e formante un angolo dato con un piano. Distanze nello spazio euclideo tridimensionale: distanza tra punti, distanza punto piano, distanza tra piani, distanza punto retta, distanza retta piano. Esercizi su distanza: retta parallela ad una retta data, incidente una retta e a distanza fissata da un paino, retta incidente due rette date e a distanza fissata da un piano.(ONLINE).
- 29.04.2020 (+2=26h): Distanze nello spazio euclideo tridimensionale tra rette. Esercizi su distanza: distanza e retta di minima distanza tra rette, retta passante per un punto, parallela ad un piano e di distanza fissata da una retta. Sfera : definizione, centro, raggio, equazione, proprietà, intersezione fra sfera e rette e sfera e piani. Esercizi: Sfera tangente ad un piano in un punto con centro su un piano, sfera tangenta ad una retta in un punto con centro su una retta, sfera tangente a due rette in due punti dati. (ONLINE).
- 06.05.2020 (+2=28h): Esercizi: Sfera tangente ad un piano in un punto e passante per un punto, sfera tangente ad una retta in un punto e ad un piano e ad un altra retta. Circonferenza nello spazio euclideo di dimensione 3: definizione, centro, raggio, proprietà, retta tangente. Esercizi: centro e raggio della circonferenza, retta tangente in un punto; sfera contenente una circonferenza passante per un punto, circonferenza tangente ad una retta in un punto e con centro su una retta; circonferenza tangente ad una retta in un punto e passante per un punto.(ONLINE).
- 13.05.2020 (+2=30h): Esercizi: Circonferenza tangente ad una retta in un punto e ad un altra retta. Superfici di rotazione: definizione di superficie e superficie di rotazione, paralleli. Cono circolare retto: definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse, vertice, semiapertura. Cilindro circolare retto: definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse. Esercizi su coni e cilindri: conoscendo direttrice, vertice, generatrice, passaggio per un punto, semiapertura. That's it. (ONLINE).