Geometria Algebrica 2024/2025
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Inizio lezioni : secondo semestre 2024/2025
Inizio lezioni Lunedi 26 Febbraio 2024 alle ore 13:30 in Aula XI. Orario Lunedi 13:30-16:30 Aula XI e Giovedi 8:30-10:30 Aula XI.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Programma
Programma provvisorio del corso dell'anno 2024-2025 (Il programma deifnitivo in dettaglio e' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)
Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Diario delle Lezioni
- 03.03.2025 (3h) : Presentazione corso e programma. Ripasso spazi affini e spazi proiettivi. Spazi affini e riferimenti affini: A^n(K) spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in A^2(R). Spazi proiettivi P^n(K): definizione, dimensione, iperpiani coordinati, esempio, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, proprietą ed esempi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo. Proprieta' che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (senza dim). Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R). Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Ideali finitamente generati ed esempi. Esempio: Ideale delle funzioni che si annullano nell'origine.
- 06.03.2025 (+2=5h) : Ideale delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n: e' finitamente generato, descrizione generatori e ideale massimale (con dim.). Ideali massimali in K[x_1,...x_n] ed esempi. Radicale di un ideale: definizione e proprietą. Esempi.
- 10.03.2025 (+3=8h) : Ripasso ideali radicali. Ideali radicali e caratterizzazione (con dim.). Il radicale di un ideale č un ideale radicale. I campi algebricamente chiusi sono infiniti (con dim.). Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali č stazionaria, esiste un elemento massimale per inclusione in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale č finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani. Esempi. Il quoziente di un anello Noetheriano č Noetheriano (con dim.). Teorema della Base di Hilbert (con dimostrazione). Anello dei polinomi a coeff. in un campo K in un numero finito di incognite č Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.). Definizione insiemi affini o insiemi algebrici associati ad un numero finito di polinomi. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine.
- 24.03.2025 (+3=11h) : Ripasso definizione insiemi affini o insiemi algebrici definiti da un numero finito di polinomi. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine. Se il campo č algebricamente chiuso, le ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Se il campo č infinito allora il complementare di una ipersuperficie č non vuoto (con dim.). Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Esempi. Proprietą del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, intersezione di due insiemi affine č affine, unione di affini č ancora affine (con dim). Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su insiemi affini, esempi su differenza di insiemi affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, č T1 (con dim.). Topologia di Zariski sulla retta affine č la topologia cofinita (con dim.).