Geometria Algebrica 2022/2023
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Inizio lezioni Lunedi 27 Febbraio 2023 alle ore 14:45 in Aula XIII. Orario Lunedi 15:00-18:00 Aula XI e Giovedi 9:00-11:00 Aula XI.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Programma
Programma provvisorio del corso dell'anno 2022-2023 (Il programma deifnitivo in dettaglio e' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)
Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Diario delle Lezioni
- 27.02.2023 (2h) : Presentazione corso, orario lezioni e programma. Ripasso spazi affini e spazi proiettivi. Spazi affini e riferimenti affini: A^n(K) spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in A^2(R). Spazi proiettivi P^n(K): definizione, dimensione, sottospazi proiettivi, iperpiani coordinati, esempio, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, proprietą ed esempi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo. Prop che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (senza dim). Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R).
- 06.03.2023 (+3=5h) : Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Ideale delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n: generatori e ideale massimale (con dim.). Ideali massimali in K[x_1,...x_n] ed esempi. Radicale di un ideale: definizione e proprietą. Ideali radicali e caratterizzazione (con dim.). Il radicale di un ideale č un ideale radicale. Esempi. Gli ideali primi sono radicali (con dim.). I campi algebricamente chiusi sono infiniti (senza dim., fatta in Algebra). Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali č stazionaria, esiste un elemento massimale per inclusione in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale č finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani.
- 13.03.2023 (+3=8h) : Ripasso definizione di Anelli Noetheriani e Artiniani. Esempi. Il quoziente di un anello Noetheriano č Noetheriano (con dim.). Teorema della Base di Hilbert (con enunciato). Anello dei polinomi a coeff. in un campo K in un numero finito di incognite č Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.). Definizione insiemi affini o insiemi algebrici. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine. Se il campo č algebricamente chiuso, le ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Se il campo č infinito allora il complementare di una ipersuperficie č non vuoto (con dim.). Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Esempi. Proprietą del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, intersezione di due insiemi affine č affine (con dim.).
- 20.03.2023 (+3=11h): Ripasso, definizione insiemi affini. Proprietą del luogo degli zeri di un ideale: unione di affini č ancora affine (con dim). Esempi. Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su insiemi affini, esempi su differenza di insiemi affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, aperti, č T1 (con dim.). Base degli aperti fondamentali della topologia di Zariski. Topologia di Zariski sulla retta affine č la topologia cofinita (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n non č T2 (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n su R o C č meno fine della topologia euclidea (con dim.). La topologia di Zariski nel piano affine non č la topologia prodotto. Teorema di classificazione degli insiemi affini nel piano affine (solo enunciato)
- 27.03.2023 (+3=14h): Teorema di classificazione degli insiemi affini nel piano affine (con dim.). Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, proprietą ed esempi. Ogni ideale č contenuto nell'ideale associato al suo luogo degli zeri (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un sottoinsieme coincide con la chiusura delsottoinsieme (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un insieme affine coincide con l'insieme affine (con dim.). Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e proprietą, suriettivitą ed iniettivitą. L'ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine č un ideale radicale (con dim). Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte e conseguenze sulle applicazioni V e I. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole e versione logicamente equivalente. Teorema: forma forte implica forma debole (con dim.). Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.). Teorema su un polinomio che si annulla sul luogo degli zeri di polinomi e dimostrazione equivalenza con forma forte (con dim.).
- 3.04.2023 (+3=17h): Ripasso: Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte, forma debole, e vesioni dimsotrate equivalenti. Teorema che descrive tutti gli ideali massimali dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo algebricamente chiuso: dimostrazione equivalenza con forma debole (con dim.). Torema: forma debole implica forma forte (con dim.). Corollari del Nullstellensatz a ideali primi o massimali, ideali generati da un polinomio irriducibile e il loro luogo degli zeri (Lemma di Study con dim.). * Facoltativo/Obbligatorio come spiegato in aula: Dimostrazione del Nullstellensatz usando risultati di algebra su estensioni di campi*. Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato. Definizione di sottoinsieme affine. Esempi. Definizione di insieme affine irriducibili e riducibile. Osservazione su varietą algebriche e varietą algebriche irriducibili. Esempi. Teorema: un insieme affine č irriducibile se e solo se l'ideale associato č primo (con dim.).
- 17.04.2023 (+3=20h): Ripasso: Definizione di insieme affine irriducibile, teorema: un insieme affine č irriducibile se e solo se l'ideale associato č primo. Conseguenze: ogni punto č irriducibile, lo spazio affine č irriducibile, il luogo degli zeri di un polinomio irriducibile č irriducibile (con dim.). Definizione di spazio topologico Noetheriano. Lo spazio affine di dimensione n e' uno spazio Noetheriano (con dim.). Proprietą dello spazio affine di dimensione n: ogni famiglia non vuota di insiemi affine ammette elemento minimale (con dim.). Teorema: ogni insieme affine č unione di un numero finito di insiemi affini irriducibili (con dim.). Teorema: ogni insieme affine amemtte decomposizione minimale e definizione delle componenti irriducibili (dim. solo dell'esistenza. *La dimostrazione dell'unicitą č Facoltativo/Obbligatorio come spiegato in aula*). Dimensione topologica di un insieme affine ed Esempi. Spazi proiettivi, polinomi e luogo degli zeri. Definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi. Definizione di Ideale omogeneo e proprietą caratteristica (senza dim.). Esempi Esempio: ideale irrilevante. Proprietą degli ideali omogenei (senza dim.). Definizione di annullamento di un polinomio in un punto nello spazio proiettivo e caratterizzazione con le sue componenti omogenee (con dim.).
- 10.05.2023 (+3=23h): Ripasso definizione di Ideale omogeneo e proprietą caratteristica. Definizione di insieme algebrico proiettivo proprietą ed esempi. Ideale associato ad una varietą proiettiva: č omogeneo (con dim.) e proprietą. Definizione di Cono affine associato ad una varietą proiettiva. Relazione tra luogo degli zeri di un ideale nello spazio affine e nello spazio proiettivo (con dim.). Relazione tra ideale associato ad una varietą proiettiva e al suo cono. Teorema del Nullstellensatz proiettivo (con dim.). Corrispondenza ideali omogenei radicali che non contengono ideale irrilevante e insiemi proiettivi non vuoti. Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi: omogeneizzazione e deomogenizzazione di un polinomio.
- 15.05.2023 (+3=26h): Ripasso: Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi. Chiusura proiettiva di un insieme affine (La dimostrazione della chiusura proiettiva č * Facoltativa/Obbligatoria come spiegato in aula). Spazio tangente di Zariski ad un isnieme affine: Intersezione retta e insieme affine e molteplicita' di intersezione. Retta tangente e Spazio tangente di Zariski ad un insieme affine in un punto. Matrice Jacobiana di un numero finito di polinomi. Descrizione esplicita dello spazio tangente di Zariski. Punti regolari e punti singolari. Fuori programma: cenni al problema di appartenenza ad un ideale e divisione nell'anello di polinomi in piu' variabili.
- 17.05.2023 (+3=29h): Anello delle funzioni regolari su un insieme affine: definizione, Proprietą ed esempi. Dimesione di un insieme affine come dimensione di Krull dell'anello delle funzioni regolari. Morfismi regolari tra insiemi affini: definizione, proprietą ed esempi. Isomorfismi regolari tra insiemi affini e isomorfismo indotto sugli anelli delle funzioni regolari (senza dim.). Esempi.
- 22.05.2023 (+3=32h): Esempio di morfismo regolare biettivo che non è un isomorfismo. Campo delle funzioni razionali su un insieme irriducibile: definizione, Proprietą ed esempi. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale č un aperto non vuoto (con dim.). Proprietą. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, proprietą, ideale massimale. Definizione morfismo razionale e morfismo razionale dominante. Definizione di morfismo birazionale e proprietą. Varietą birazionalmente equivalenti, varietą razionali. Esempio di curva razionale. Insieme algebrici proiettivi: funzioni regolari e campo delle funzioni razionali.
[* Facoltativo/Obbligatorio dipende dal programma del corso di Geometria 3. Queste parti sono obbligatorie per chi ha sostenuto l'esame di Geometria 3 con il programma dell'anno accademico 2022/2023.]