Geometria Algebrica 2021/2022
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Inizio lezioni Martedi 1 Marzo 2022, Aula VII. Orario : Lunedi 14:15-17:15 e Giovedi 8:15-10:15.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Programma
Programma provvisorio del corso
Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Diario delle Lezioni
- 01.03.2022 (2h) : Presentazione corso, orario lezioni e programma. Ripasso spazi affini e spazi proiettivi. Spazi affini e riferimenti affini: A^n(K) spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in A^2(R). Spazi proiettivi P^n(K): definizione, dimensione, sottospazi proiettivi, iperpiani coordinati, esempio, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, proprietą ed esempi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo.
- 03.03.2022 (+2=4h) : Ripasso sistema di riferimento proiettivo. Prop che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (senza dim). Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R). Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Ideale delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n: generatori e ideale massimale (con dim.). Ideali massimali in K[x_1,...x_n] ed esempi.
- 09.03.2022 (+2=6h): Ripasso Ideale massimale di K[x_1,...x_n] delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n. Radicale di un ideale e proprietą. Ideali radicali e caratterizzazione (senza dim.). Il radicale di un ideale č un ideale radicale. Esempi. Gli ideali primi sono radicali (con dim.). I campi algebricamente chiusi sono infiniti (con dim.). Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali č stazionaria, esiste un elemento massimale per inclusione in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale č finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani. Esempi. Il quoziente di un anello Noetheriano č Noetheriano (con dim.). Teorema della Base di Hilbert (solo enunciato). Anello dei polinomi a coeff. in un campo K in un numero finito di incognite č Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.).
- 17.03.2022 (+2=8h): Teorema della Base di Hilbert (con dim.). Definizione insiemi affini o insiemi algebrici. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine. Se il campo č algebricamente chiuso, le ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Se il campo č infinito allora il complementare di una ipersuperficie č non vuoto (con dim.). Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Esempi.
- 24.03.2022 (+2=10h): Ripasso, definizione insiemi affini o insiemi algebrici. Proprietą del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, unione di affini č ancora affine, intersezione di un numero arbitrario di affini č affine. Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su insiemi affini, esempi su differenza di insiemi affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, aperti, č T1 (con dim.). Base degli aperti fondamentali della topologia di Zariski. Topologia di Zariski sulla retta affine č la topologia cofinita (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n non č T2 (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n su R o C č meno fine della topologia euclidea (con dim.).
- 28.03.2022 (+3=13h): Ripasso della topologia di Zariski. La topologia di Zariski nel piano affine non č la topologia prodotto. Teorema di classificazione degli insiemi affini nel piano affine, (con dim.). Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, proprietą ed esempi. Ogni ideale č contenuto nell'ideale associato al suo luogo degli zeri (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un sottoinsieme coincide con la chiusura del sottoinsieme (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un insieme affine coincide con l'insieme affine (con dim.). Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e proprietą, suriettivitą ed iniettivitą. L'ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine č un ideale radicale (con dim). Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte e conseguenze sulle applicazioni V e I. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole e versione logicamente equivalente. Teorema: forma forte implica forma debole (con dim.).
- 04.04.2022 (+3=16h): Ripasso: Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte, conseguenze sulle e enunciato forma debole. Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.). Teorema su un polinomio che si annulla sul luogo degli zeri di polinomi e dimostrazione equivalenza con forma forte. Teorema che descrive tutti gli ideali massimali dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo algebricamente chiuso: dimostrazione equivalenza con forma debole. Torema: forma debole implica forma forte (con dim.). Corollari del Nullstellensatz a ideali primi o massimali, ideali generati da un polinomio irriducibile e il loro luogo degli zeri (Lemma di Study con dim.). Dimostrazione del Nullstellensatz usando risultati di algebra su estensioni di campi (fuori programma). Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato. Definizione di sottoinsieme affine. Esempi.
- 11.04.2022 (+3=19h): Definizione di insieme affine irriducibili e riducibile. Osservazione su varietą algebriche e varietą algebriche irriducibili. Esempi. Teorema: un insieme affine č irriducibile se e solo se l'ideale associato č primo (con dim.). Conseguenze: ogni punto č irriducibile, lo spazio affine č irriducibile, il luogo degli zeri di un polinomio irriducibile č irriducibile (con dim.). Definizione di spazio topologico Noetheriano. Lo spazio affine di dimensione n e' uno spazio Noetheriano (con dim.). Proprietą dello spazio affine di dimensione n: ogni famiglia non vuota di insiemi affine ammette elemento minimale (con dim.). Teorema: ogni insieme affine č unione di un numero finito di insiemi affini irriducibili (con dim.). Teorema: ogni insieme affine amemtte decomposizione minimale e definizione delle componenti irriducibili (dimo solo dell'esistenza, unicitą fuori programma). Spazi proiettivi, polinomi e luogo degli zeri. Definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi.
- 28.04.2022 (+2=21h): Ripasso definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi. Definizione di Ideale omogeneo e proprietą caratteristica (senza dim.). Esempi. Esempio: ideale irrilevante. Proprietą degli ideali omogenei (senza dim.). Definizione di annullamento di un polinomio in un punto nello spazio proiettivo e caratterizzazione (con dim.). Definizione di insieme algebrico proiettivo proprietą ed esempi. Ideale associato ad una varietą proiettiva: č omogeneo (con dim.) e proprietą.
- 02.05.2022 (+3=24h): Ripasso ideale omogeneo, e ideale associato ad un insieme proiettivo. Definizione di Cono affine associato ad una varietą proiettiva. Relazione tra luogo degli zeri di un ideale nello spazio affine e nello spazio proiettivo (con dim.). Relazione tra ideale associato ad una varietą proiettiva e al suo cono. Teorema del Nullstellensatz proiettivo (con dim.). Corrispondenza ideali omogenei radicali che non contengono ideale irrilevante e insiemi proiettivi non vuoti. Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi: omogeneizzazione e deomogenizzazione di un polinomio, chiusura proiettiva di un insieme affine (senza dim.).
- 12.05.2022 (+2=26h): Anello delle funzioni regolari su un insieme affine: definizione, Proprietą ed esempi. Morfismi regolari tra insiemi affini: definizione, proprietą ed esempi. Isomorfismi regolari tra insiemi affini e isomorfismo indotto sugli anelli delle funzioni regolari (senza dim.).
- 16.05.2022 (+3=29h): Ripasso definizioni: funzioni regolari, morfismi regolari ed isomorfismi. Esempi. Campo delle funzioni razionali su un insieme irriducibile: definizione, Proprietą ed esempi. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale č un aperto non vuoto (con dim.). Proprietą. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, proprietą, ideale massimale. Definizione morfismo razionale e morfismo razionale dominante. Definizione di morfismo birazionale e proprietą. Varietą birazionalmente equivalenti, varietą razionali. Esempio.
- 23.05.2022 (+3=32h): Insieme algebrici proiettivi: funzioni regolari, morfismi regolari ed isomorfismi. Esempio delle proiettivitą. Insieme algebrici proiettivi: Campo delle funzioni razionali, funzioni razionali. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale č un aperto non vuoto (senza dim.). Proprietą. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, Proprietą, ideale massimale (senza dim.). Definizione morfismo razionale. Dimensione topologica di un insieme affine ed Esempi. Dimesione di un insieme affine come dimensione di Krull dell'anello delle funzioni regolari. Spazio tangente di Zariski di un insieme algebrico affine, definizione e descrizione. Punti regolari e punti singolari.