Geometria Algebrica 2020/2021
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Orario: Martedi 14:20-16:20 3 Giovedi 11:20-14:20.
Ricevimento
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Programma
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Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Esami
Per le date di esame consultare ESSE3
Diario delle Lezioni
- 23.02.2021 (2h) : Presentazione corso, orario lezioni e programma. Ripasso spazi affini e spazi proiettivi. Spazi affini e riferimenti affini: A^n_k spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in A^2_R. Spazi proiettivi P^n(K): definizione, dimensione, sottospazi proiettivi, iperpiani coordinati, esempio, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, proprieta' e esempi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo. Prop che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (senza dim). Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R).
- 02.03.2021 (+2=4h): Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Esempio di ideale primo ma non massimale. Generatori di un ideale ed esempi in K[x_1,...x_n]. Ideali massimali e primi in K[x]. K[x_1,...x_n] non e' a ideali principali. Ideale delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n: generatori e ideale massimale (con dim.). Ideali massimali in K[x_1,...x_n] ed esempi.
- 09.03.2021 (+2=6h): Radicale di un ideale e proprietà. Ideali radicali e caratterizzazione (cn dim.). Il radicale di un ideale è un ideale radicale (con dim.). Esempi. Gli ideali primi sono radicali (con dim.). I campi algebricamente chiusi sono infiniti (con dim.). Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali è stazionaria, esiste un elemento massiamle in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale è finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani. Esempi. Il quoziente di un anello Noetheriano è Noetheriano (con dim.). Teorema della Base di Hilbert (con dim.). Anello dei polinomi a coeff. in un campo K in un numero finito di incognite è Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.).
- 17.03.2020 (+2=8h): Definizione insiemi affini o insiemi algebrici. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine. Insiemi algebrici nella retta affine. Se il cmapo è algebricamente chiuso, le ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Se il campo è infinito allora il complementare di una ipersuperficie è non vuoto (con dim.). Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Proprietà del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, unione di affini è ancora affine, intersezione di un numero arbitrario di affini è affine. Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su differenza di insiemi affini.
- 25.03.2021 (+3=11h): Ripasso: definizione insiemi affini/algebrici e proprieta'. Esempi su differenza di insiemi affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, aperti, è T1 (con dim.). Base degli aperti fondamentali della topologia di Zariski. Topologia di Zariski sulla retta affine è la topologia cofinita (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n non è T2 (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n su R o C è meno fine della topologia euclidea (con dim.). La topologia di Zariski sul piano affine non è la topologia prodotto. Teorema di classificazione degli insiemi affini nel piano affine, (con dim.). Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, prorpietà ed esempi. Ogni ideale è contenuto nell'ideale associato al suo luogo degli zeri (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un sottoinsieme coincide con la chiusura del sottoinsieme (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un insieme affine coincide con l'insieme afffine (con dim.). Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e prorpietà, suriettivita' ed iniettivita'.
- 08.04.2021 (+3=14h): Ripasso: Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e prorpietà. L'ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine è un ideale radicale. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte e conseguenze sulle applicazioni V e I. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole. Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.). Teorema che descrive tutti gli ideali massimali dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo algebricamente chiuso: dimostrazione equivalenza con forma debole. Teorema: forma forte implica forma debole (con dim.). Torema: forma debole implica forma forte (con dim.). Applicazioni del Nullstellensatz a ideali primi o massimali, ideali generati da un polinomio irriducibile e il loro luogo degli zeri (Lemma di Study con dim.).
- 15.04.2021 (+3=17h): Ripasso: vari enunciati equivalenti del Nullstellensatz e corollari. Teorema su un polinomio che si annulla sul luogo degli zeri di polinomi e dimostrazione equivalenza con forma forte. Dimostrazione del Nullstellensatz usando risultati di algebra su estensioni di campi. Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato. Definizione di sottoinsieme affine. Esempi. Definizione di insieme affine irriducibili e riducibile. Osservazione su varietà algebriche e varietà algebriche irriducibili. Esempi. Teorema: un insieme affine è irriducibile se e solo se l'ideale associato è primo (con dim.). Conseguenze: ogni punto è irriducibile, lo spazio affine è irriducibile, il luogo degli zeri di un polinomio irriducibile è irriducibile (con dim.). Definizione di spazio topologico Noetheriano. Lo spazio affine di dimensione n e' uno spazio Noetheriano (con dim.)
- 22.04.2021 (+3=20h): Ripasso: definizione di insiemi affini irriducibili e spazio topologico Noetheriano. Spazio affine di dimensione n è uno spazio Noetheriano e proprietà: ogni famiglia non vuota di insieme affine ammette elemento minimale (con dim.). Teorema: ogni insieme affine è unione di un numero finito di insiemi affini irriducibili (con dim.). Teorema: ogni insieme affine amemtte decomposizione minimale e definizione delle componenti irriducibili (con dim.). Spazi proiettivi, polinomi e luogo degli zeri. Definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi. Definizione di Ideale omogeo e proprietà caratteristica (senza dim.). Esempi. Esempio: ideale irrilevante. Proprietà degli ideali omogenei (senza dim.). Definizione di annullamento di un polinomio in un punto nello spazio proiettivo e caratterizzazione (con dim.). Definizione di insieme algebrico proiettivo proprietà ed esempi.
- 27.04.2021 (+2=22h): Ripasso: annullamento di un polinomio nello spazio proiettivo, ideale omogeo insieme algebrico proiettivo proprietà ed esempi. Ideale associato ad una varietà proiettiva: è omogeneo (con dim.) e proprietà. Definizione di Cono affine associato ad una varietà proiettiva. Relazione tra luogo degli zeri di un ideale nello spazio affine e nello spazio proiettivo (con dim.). Relazione tra ideale associato ad una varietà proiettiva e al suo cono. Teorema del Nullstellensatz proiettivo (con dim.). Corrispondenza ideali omogenei radicali che non contengono ideale irrilevante e insiemi proiettivi non vuoti. Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi: omogeneizzazione e deomogenizzazione di un polinomio.
- 04.05.2021 (+2=24h): Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi insiemi affini associati ad un insieme proiettivo, chiusura proiettiva di un insieme affine. Dimensione topologica di un insieme affine ed Esempi. Anello delle funzioni regolari su un insieme affine: definizione, proprietà ed esempi. Dimesione di un insieme affine come dimensione di Krull dell'anello delle funzioni regolari.
- 11.05.2021 (+2=26h): Ripasso: Anello delle funzioni regolari su un insieme affine. Morfismi regolari tra insiemi affini: definizione, proprietà ed esempi. Isomorfismi regolari tra insiemi affini e isomorfismo indotto sugli anelli delle funzioni regolari (senza dim.). Campo delle fuznioni razionali: definizione, proprietà ed esempi. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale è un aperto non vuoto (con dim.).
- 18.05.2021 (+2=28h): Ripasso: Insiemi irriducibili, campo delle funzioni razionali, punto regolare. Dominio di una funzione razionale è un aperto non vuoto (con dim.). Proprietà. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, proprietà, ideale massimale. Definizione morfismo razionale e morfismo razionale dominante. Definizione di morfismo birazionale e proprietà. Varietà birazionalmente equivalenti, varietà razionali. Esempio. Argomento facoltativo: Problema della divisione nell'anello dei polinomi in più variabili. Esempi di divisione. Idea della soluzione (Basi di Groebner).