Esercitazioni di Geometria, 2019/2020
Corso di Laurea in Fisica.
Docente del Corso Prof. Giulia Dileo.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Testi consigliati
A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI (per la parte algebrica).
E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.
E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Vol. I e II, Aracne Ed.
Esercizi
Per chi volesse esercitarsi qui ci sono alcuni esercizi.(Coming Soon)
- Esercizi 11 Ottobre 2019 (su numeri complessi e prodotto di matrici)
- Esercizi 17 Ottobre 2019 (su determinanti di matrici)
- Esercizi 24 Ottobre 2019 (su inversa di matrici, spazi vettoriali, sottospazi, basi)
- Esercizi 31 Ottobre 2019 (su supplementare e rango di matrici)
- Esercizi 14 Novembre 2019 (su sistemi lineari)
- Esercizi 4 Dicembre 2019 (su endomorfismi diagonalizzabili)
- Esercizi 5 Dicembre 2019 (su applicazioni lineari e matrici)
- Esercizi di riepilogo su: spazi affini e spazi euclidei.
- Alcuni esercizi di preparazione.
Esami
Per le date di esame consultare ESSE3
Diario delle Lezioni
- 01.10.2019 (2h ): Ripasso funzioni: Definizione di funzione, funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa. Immagini e Controimmagini. Definizione di restrizione di una funzione, di funzione ridotta e di iniezione canonica. Esercizi su composizioni di funzioni iniettive, composizioni di suriettive, composizioni di biettive, su immagini e controimmagini di intersezione e unione. Esercizi su funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa e composizione.
- 08.10.2019 (+2=4h ): Esercizi su legge di composizione, associatività, commutatività, elemento neutro, elementi ivertibili. Struttura algebrica di campo sull'insieme dei numeri complessi. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). R sottocampo di C. Definizione dell'unità immaginaria i=(0,1). Forma algebrica dei numeri complessi. Definizione di coniugato e di modulo di un numero complesso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Forma algebrica dell'inverso. Esempi. Struttura algebriche di spazio vettoriale di C su C e C su R.
- 09.10.2019 (+1h=5h ): Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Struttura di anello su K[x]: Somma, prodotto, elementi neutri, opposto, inverso. Grado di un polinomio, proprietà. Struttura di spazio vettoriale su K[x].
- 10.10.2019 (+3h=8h ): Spazio vettoriale Kn[x] dei polinomi di grado minore o uguale a n. Teorema di divisione tra polinomi (senza dim.). Divisibilità tra polinomi. Polinomi irriducibili. Fattorizzazione di un polinomio come prodotto di irriducibili. Esempi. Radice di un polinomio. Teorema di Ruffini (senza dim.). Molteplicità di una radice. Campo algebricamente chiuso. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Esempi. Esmpio di spazio vettoriale: funzioni definito da un insieme non vuoto a valori in uno spazio vettoriale. Matrici m righe n colonne a coefficienti in un campo K: M m,n(K). Esempi. Vettori riga, vettori colonna, matrici quadrate. Struttura di K spazio vettoriale sull'insieme M m,n(K): somma e prodotto per uno scalare e proprietà. Definizione di diagonale principale. Matrice trasposta e proprietà. Matrici simmetriche: definizione, esempi. Matrici antisimmetriche: definizione, esempi.
- 11.10.2019 (+2h=10h ): Matrici: diagonali, matrici scalari, matrice identità. Matrici moltiplicabili. Prodotto righe per colonne tra Matrici. Esempi. Proprietà del prodotto, struttura di anello su M n(K). Matrici invertibili. Proprietà dell'inversa. Gruppo lineare generale di ordine n a coefficienti in un campo K.
- 16.10.2018 (+1h=11h ): Kn[x]: sottospazio dei polinomi di grado minore o uguale a n. Esercizio su sottospazio dello spazio vettoriale dei polinomi. Matrici simmetriche S n(K): struttura di sottospazio. Matrici antisimmetriche A n(K): struttura di sottospazio. Esempio M n(R) spazio vettoriale come somma diretta di S n(R) e A n(R). Traccia di una matrice e proprieta'. Sottospazio delle matrici a traccia nulla.
- 17.10.2019 (+2h=13h ): Definizione di sottomatrice. Esempi. Determinante di una matrice quadrata con la Regola di Laplace. Esempi ed Esercizi. Definizione di minore e di complemento algebrico. Esempi. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Corollario su determinante di matrici invertibili (con dim.). Secondo teorema di Laplace (senza dim.). Definizione Matrice Aggiunta. Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili e calcolo dell'inversa (dim. da fare nella prossima lezione).
- 24.10.2019 (+1h=14h ): Ripasso: complemento algebrico, determinante, Secondo teorema di Laplace, aggiunta. Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili (con dim.) e calcolo dell'inversa. Esempi e Esercizi. Lo spazio vettoriale Kn[x] dei polinomi di grado minore o uguale a n è finitamente generato (con dim.). Lo spazio vettoriale K[x] dei polinomi non è finitamente generato.
- 31.10.2019 (+2h=16h ): Combinazione lineare di righe o colonne di una matrice. Proprietà del determinante ed esempi. Definizione di rango di una matrice, tramite righe e colonne linearmente indipendenti e tramite minori. Esempi e Esercizi su rango. Definizione di minore orlato. Teorema degli orlati di Kronecker (senza dim.). Esempi. Determinazione del rango di una matrice al variare di un parametro.
- 05.11.2019 (+2h=18h ): Definizione di base di uno spazio vettoriale. Basi degli spazi vettoriali: M m,n(K), S2(R) e A2(R). Gruppo GL(n,K), GL+(n,R), gruppo speciale lineare SL(n,K). Gruppo O(n,K). delle matrici ortogonali. Determinante matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Caso m=1, una equazione lineare. Esempi e Risoluzione. Caso generale. Matrici associate al sistema: matrice coefficienti (incompleta), matrice incognite, matrice termini noti, matrice completa. Sistema in forma matriciale. Esempi.
- 7.11.2019 (+1h=19h ): Isomorfismo tra M m,1(K) e K^m e tra M 1,n(K) e K^n. Determinazione della applicazione lineare associata ad una matrice. Esempi. Teorema di struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo (con dim). Definizione di Sistema omogeneo e sistema omogeneo associato ad un sistema lineare di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Teorema sulla dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (dimostrazione coming soon).
- 13.11.2019 (+1h=20h ): Ripasso corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari. Teorema sulla dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (con dim.). Esempio. Teorema di Rouche'-Capelli (con dimostrazione). Esempi.
- 14.11.2019 (+2h=22h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Definizione di sistema di Cramer. Teorema di risoluzione dei sistemi di Cramer e formula per la soluzione (con dimo.). Esempi ed Esercizi. Metodo di risoluzione per i sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Esempi ed Esercizi.
- 21.11.2019 (+2h=24h ): Teorema che associa ad uno spazio vettoriale un sistema lineare omogeneo (con dimostrazione). Definizione di Endomorfsimo Diagonalizzabile ed Esempi. Definizione Autovettore e Autovalore di un Endomorfismo. Esempi. Unicita' autovalore associato ad un autovettore (con dimostrazione). Teorema: un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori (con dimostrazione). Definizione di autospazio relativo ad un autovalore. Teorema: ogni autospazio e' uno spazio vettoriale (con dimostrazione). Caratterizzazione degli autospazi come soluzioni di sistemi omogeni (con dimostrazione). Definizione di Matrici Simili. Matrici Simili hanno stesso determinante (con dimostrazione). Definizione di Matrice Diagonalizzabile.
- 26.11.2019 (+2h=26h ): Ripasso definizioni Endomorfsimo Diagonalizzabile, Matrici Simili, Matrice Diagonalizzabile, Autovalori e Autovettori. Teorema: Matrici associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili (con dimostrazione). Teorema: Un endomorfismo e' diagonalizzzabile se e solo se la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base e' diagonalizzabile (con dimostrazione). Definizione Autovettore e Autovalore di una matrice. Definizione di polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice. Teorema di indipendenza del polinomio caratteristico dalla scelta della base (con dim.) Esempi. Teorema di Cayley-Hamilton: gli autovalori di un endomorfismo sono gli zeri del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Esempi.
- 28.11.2019 (+1h=27h ): Ripasso definizioni del polinomio caratteristico, indipendenza dalla scelta della base. e Teorema di Cayley-Hamilton. Definizione: Molteplicita' algebrica e molteplicita geometrica. Teorema che 1 e' minore o uguale della molteplicita geometrica minore uguale della molteplicita algebrica (con dim.). Teorema: Criterio di diagonalizzabilita' degli endomorfismi (senza dimostrazione). Autovalori semplici. Esempi su diagonalizzabilita'.
- 04.12.2019 (+1h=28h ): Esempi ed Esercizi su diagonalizzabilita'. Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R): rotazioni e riflessioni.
- 05.12.2019 (+1h=29h ): Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R) rotazioni e riflessioni. Ripasso operatori unitari. Definizione di operatore simmetrico su spazi vettoriali reali euclidei. Relazione tra operatori simmetrici e matrici simmetriche (con dim.). Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale ha tutte le radici reali (con dim.).
- 11.12.2019 (+1h=30h ): Ripasso degli operatori simmetrici. Teorema spettrale: Ogni operatore simmetrico ammette una base ortonormale diagonalizzante (con dim). DEfinizione prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale euclideo reale di dimensione 3. Esempi. Proprieta'. That's it.